Problem: bir asal sayı ve olmak üzere şartını sağlayan, sayısını tam kare yapan tüm ikililerini bulunuz.

Yukarıda verilen problem, Bilkent Üniversitesinin Ayın Matematik Sorusu etkinliğinin Eylül 2025 sorusundan türetilmiştir. Bilkent Üniversitesinin ilgili sorusunu buradan inceleyebilirsiniz.

Problemin Çözümü

ifadesi, tam sayısının içindeki p asal çarpanı adedini gösteriyor olsun. Misal, olur çünkü 'dir. Aynı şekilde olur çünkü 'dır.

Lemma.

Kanıt. Öncelikle ve olsun. Yani ve , aralarında asal sayılar olsun. O zaman olur. Dolayısıyla olur. Aynı zamanda ve olur.

O zaman, aynı zamanda olarak yazılabilir. Dolayısıyla olur. Bu özelliği birden fazla kez kullanarak şunu yazabiliriz:

Sorumuzda ise şu sonuç çıkar: ifadesi bize sonucunu verir çünkü olduğundan içinde çarpanı olamaz. Ayrıca olur. bir asal sayı olduğu için 'dir ve olur çünkü ardışık sayılar aralarında asaldır.

Bize verilen ifadeyi tekrar ele alalım: . Bu ifadeyi gösterimi ile inceleyecek olursak: olur. , ve olduğu için olur.

olmak üzere olduğu için olmalıdır. O hâlde olmalıdır. olduğundan 'in ya da olabilmesi mümkündür. Tek sayı olması gerektiği için olur ve gelir. Bu durumda, durumunu incelememiz yeterlidir.

tam kare bir sayı olduğundan de bir tam kare sayı olmalıdır (). Bunu iki tam kare arasına sıkıştırabiliriz:

ifadesi için her zaman sağlanır ve olamaz. Dolayısıyla böyle bir değeri yoktur.