Karmaşık sayılar (kompleks sayılar) sistemi temelde sanal birim ( sayısı) olarak bilinen özel bir birim ile inşa edilir. Bu birim, karesi olan sayı olarak tanımlanır. Daha matematiksel olarak,

biçiminde gösterilir. Kısacası sayısı, kendisi ile çarpımı olan bir birimdir. Bunun üzerine karmaşık sayıları inşa etmeye başlayabiliriz. Karmaşık sayılar bir sanal ve bir reel kısımdan oluşan sayılardır. Karmaşık sayılar şu şekilde tanımlanır: ve herhangi bir reel sabit ve , karesi olan sayı olsun. Bu durumda bir karmaşık sayı,

biçimindedir. Bu karmaşık sayıda değeri reel kısım ve değeri ( ile çarpılan değer) sanal kısım olarak adlandırılır. Bazı kaynaklarda gösterimi yerine denk olan gösterimi tercih edilir. Biz serimiz boyunca birinci gösterimi tercih edeceğiz. Bir karmaşık sayısı için reel ve sanal kısımları göstermek amacıyla yaygın olarak kullanılan bir notasyon (gösterim formatı) mevcuttur: Reel kısmı ve sanal kısmı göstermek için kullanılır. Örnek vermek gerekirse: ve birer karmaşık sayı örneğidir ve aşağıdaki ifadeler yazılabilir:

Reel kısımın ile gösterilmesi pek şaşırtıcı değildir. Ancak sanal kısmın ile gösterilmesine şaşırmış olabilirsiniz. Bunun sebebi İngilizcedeki "imaginer" kelimesinin, "sanal" kelimesine denk gelmesidir. Burada "karmaşık sayı" terimi; bu sayıların anlaşılmasının zor olduğunu değil, sayının bir reel ve sanal kısımdan oluştuğunu ifade eder. Karmaşık sayılar küme gösterimi ile,

daha formal olarak tanımlanabilir. Burada sembolü karmaşık sayılar için kullanılan küme sembolüdür. Ders kitaplarında bu sembol yerine kalın yazılmış (C) sembolü ile de sıklıkla karşılaşabilirsiniz. olarak alındığı takdirde doğrudan bir reel sayı elde edilir. Dolayısıyla reel sayılar kümesi, karmaşık sayıların bir alt kümesidir ve biçimde yazılabilir.

Temel Aritmetik İşlemler

Tıpkı reel sayılarda olduğu gibi karmaşık sayılar da kendi aralarında toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Karmaşık sayılarda dört temel işlemi tanımlamak için ve ifadelerini ele alalım.

Toplama

Karmaşık sayılarda toplama işlemi yukarıdaki biçimde tanımlanır. Tanım bize iki karmaşık sayıyı toplamak için reel ve sanal kısımlarını ayrı ayrı toplamamız gerektiğini söyler. Aşağıdaki örneği inceleyerek bunu daha iyi anlayabiliriz:

Çıkarma

Çıkarma da toplamaya benzer olarak reel ve sanal kısımların ayrı ayrı çıkarılmasını içerir:

Çıkarma için de benzer bir örnek verelim:

Çarpma

Çarpma işleminin tanımı aşağıdaki biçimde yapılır:

Bu tanım göze biraz anlamsız ve hatırlanması zor gibi gelebilir. Lakin aslında iki sayının birbiri üstüne dağıtılarak çarpması ile elde edilir:

Sağdaki ifadesini 'nin reel ve sanal kısımları üzerine dağıtalım:

Şimdi ifadesini ve ifadesini sayısının reel ve sanal kısımları üzerine dağıtalım:

En sağdaki ifade de sayısı kendisi ile çarpılmaktadır. biriminin kendisi ile çarpımının olduğunu bildiğimizden yerine -1 yazabiliriz:

Son olarak parantezine alıp reel ve sanal kısımları gruplarsak tanımdaki ifadeye ulaşmış oluruz:

Karmaşık sayılarda çarpma yaparken tanımdaki ifadeyi kullanmak yerine dağıtma işlemi kullanmak tanım ezberlemekten kaçınmamızı sağlar. Aşağıda bunu bir örnek ile inceleyelim. İlk olarak soldaki sayıyı sağdakinin üstüne dağıtalım:

Şimdi ve sayılarını dağıtalım:

Çarpmaları yapalım:

Sanal ve reel kısımları da toplarsak,

sayısına ulaşmış oluruz. Doğrudan tanımda sayıları yerleştirerek hesapladığımızda da aynı sonuca ulaşırız. Tanımı kullanarak bu sonuca ulaşmayı siz okurlarımıza bırakıyoruz.

Bölme

Karmaşık sayılarda tanımını ezberlemek için en karmaşık ifadeye sahip olan işlem, bölme işlemidir. İki karmaşık sayının bölünmesi aşağıdaki biçimde tanımlanır:

Bu ifade de ve ifadelerinin her ikisi birden sıfır olamaz. Bildiğiniz üzere ile bölme tanımsızdır. Bu tanımın ezberlemek için ne kadar zor ve karmaşık olduğu açıktır. Bölmeyi hesaplamak için kolay ve hatırlaması kolay bir teknik, karmaşık eşlenikler tanıtıldığında verilecektir. Bilimetri Akademi içeriklerini takip ederek bu konuyu öğrenebilirsiniz.

İşlem Özellikleri

Karmaşık sayılarda, reel sayılarda iyi bilinen bazı işlem özellikleri geçerlidir. Karmaşık sayılar, toplama ve çarpma işlemleri için değişme özelliğini sağlar:

Karmaşık sayılarda toplama ve çarpma işlemleri için birleşme özelliği sağlanır:

Karmaşık sayılar için dağılma özelliği sağlanır:

Sanal Birimin Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri

Sanal birimin pozitif tam sayı kuvvetleri belli bir örüntüye sahiptir. İlk olarak sanal birimin kuvvetlerini hesaplamak için şu tekniğe geliştirelim: ifadesi ile başlayalım ve kendisi ile çarpmaya devam edelim. sayısının kendisi ile çarpımı yani olduğunu biliyoruz. değerini hesaplamak için onu biçimde yazabiliriz . ifadesinin olduğunu bildiğimizden yerine yazabiliriz. Bu durumda elde ederiz. Bu şeklide değerini hesaplarsak: olarak buluruz. Bu şekilde devam ettiğimizde sanal birimin kuvvetlerinin şöyle bir örüntü sağladığı görülür:

Şimdi sanal birimin çok büyük kuvvetlerini hesaplamak için kullanılabilinecek bir teknik vereceğiz. gibi bir ifadeyi hesaplamaya çalıştığımızı varsayalım. Bunu gayet tabii yukarıda verdiğimiz teknik ile adım adım ilerleyerek bulabiliriz fakat bu çok uzun bir süreç olacaktır. Onun yerine ifadesinin 1 sayısına eşit olduğu bilgisini kullanacağız. İlk olarak sayısını ile böldüğümüzde elde ettiğimiz kalan ve bölüm cinsinden yazalım: . Şimdi doğrudan yazmak yerine yazalım. Bu ifadeyi aşağıdaki biçimde düzenleyebiliriz:

sayısı ile bölümden elde edildiğinden 4'e tam bölünür. Bu durumda ifadeyi şöyle de yazabiliriz:

ifadesinin olduğunu bildiğimizden

ifade doğrudan olarak bulunur. Bu durumu daha genel olarak ifade etmek için 'nin bir pozitif kuvvetinin alındığını varsayalım. Pozitif tam sayısının ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalan olsun. Bu durumda sayısı

biçiminde yazılabilir. Bu durumda,

En sağdaki ifade biraz düzenlenerek:

değerinin olduğunu bildiğimizden ifade doğrudan olarak bulunur.

Burada sonucu genelleyecek olursak sanal birimin herhangi bir pozitif tam sayı kuvvetinin değeri, sayısının ile bölümünden kalan kuvvetinin alınmasına eşittir. Bu genelde,

olarak ifade edilir. Burada, ifadesi, 'in ile bölümünde kalanı ifade eder.