Matematikte belli bir örüntüyü (kuralı) takip eden çarpma işlemleri karışımıza sıklıkla çıkar. Bu tarz bir çarpmaya örnek olarak 0'dan büyük ilk tam sayının çarpımı verilebilir

Veya farklı bir örnek olarak 0'dan büyük ilk 10 çift tam sayının çarpımı verilebilir:

Bu tarz ifadeler elbette okuyan kimseye ne anlatmak istediğini açıkça belli eder. Her şeye rağmen çok kritik bir problemi mevcuttur: Matematiksel olarak işlem yapmak için pek uygun değillerdir ve ayrıca kağıt üzerinde fazlasıyla yer kaplayabilirler. Bu tarz ifadeleri daha kompakt ve uygun bir şekilde göstermek için büyük sigma toplamı ile benzer bir notasyon mevcuttur. Büyük sigma toplamına hâkim değilseniz önce büyük sigma toplamı makalemizi okumanızı tavsiye ederiz. Ardından bu gösterimi anlamak sizin için çok daha kolay olacaktır. Bu notasyon Yunancanın büyük pi harfi () ile gösterilir (okurlarımızın küçük pi harfini, , yakından tanıdığına eminiz). Yukarıdaki ifadeyi büyük pi çarpımı ile yazarak notasyonumuzu tanıtalım:

Yukarıdaki ifadede bulunan ortadaki sembolü, Yunan alfabesinin on altıncı harfi pi'nin büyük hâlidir. harfinin hemen altında şeklinde gösterilen ifade, işlem yapmaya nereden başlamamız gerektiğini ifade eder. Üstte bulunun sayısı ise nerede durmamız gerektiğini ifade eder. Son olarak sağa eklenen ifadesi ise uygulamamız gereken "kuraldır". Burada "kural" derken gerçek bir kuralı kastetmediğimizi belirtmek isteriz. Matematikte gerçek manada kurallar bulunmaz. Ancak bunlar daha ziyade matematik felsefesinin konusu olduğu için burada detaylarına girmeyeceğiz. Kaldığımız yerden devam ederek bu ifadeyi şu şekilde netleştirelim: İfade bize " den başla ve sağdaki ifadede yerine yaz." der. "Ardından ye geç ve yerine iki yaz. Bu şekilde değerine ulaşasıya kadar devam et ve sonra olarak tüm bu ifadeleri çarp." der. Bunu aşağıda başka bir örnek ifade ile yaparak daha net ve anlaşılır hâle getirelim:

Yukarıdaki ifadede önce ifadesinde, yerine önce yazacağız ve sonra yazarak devam edeceğiz. Ardından bulduğumuz tüm ifadeleri çarpacağız:

İfadenin başlangıç değerini olmasına gerek yoktur. İstersek ile başlayıp ile biten bir çarpım yazabiliriz:

Hatta başlangıç değeri bir negatif tam sayı dahi olabilir. Bu durumda o negatif tam sayıdan başlayarak ve arttırarak üst sınıra (İng: "upper limit") varasıya kadar devam etmemiz gerekir. Bir örnek verelim:

Yukarıda bulunan ifade de önce yerine yazdık, ardından ve yazarak açılımımızı yaptık. Ayrıca bir diğer önemli nokta şudur: Bu ifadede değişken olarak kullanmak zorunda değiliz. İstersek çarpım ifadelerimizi yerine kullanarak da yazabiliriz:

Örnek teşkil etmesi açısından ilk verdiğimiz örneği iki farklı değişken kullanarak yazdık. İkisi tamamıyla aynı şeyi ifade etmektedir. kullanıldığı takdirde gördüğünüz yere değerleri koyarak ilerlerken, kullanıldığında aynı süreç için yapılmalıdır. Sadece harfinin altında bize belirtilen değişken ile çalıştığınızdan emin olmanız gerekir.

Çarpım Kuralı

Çarpım kuralı, çarpım işlemi içerisinde iki adet fonksiyon birbiri ile çarpım durumunda olduğunda onları ayırabileceğimizi ifade eder. Bunu görmek için den başlayan ve de biten aşağıdaki çarpımı ele alalım:

Bu ifadeyi açalım:

Bu ifadede yerine, önce den başlayarak ve ardından 'e kadar sırasıyla sayıları yazarak çarpımı bu şekilde açtık. Şimdi çarpma özelliklerini kullanarak çarpımı biraz düzenleyelim. ve fonksiyonlarının değerlerini kendileri ile gruplayarak yazalım:

Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta mevcuttur. Solda fonksiyonunun değerlerinden oluşan çarpım hâlinde bulunan ifade aslında şu çarpıma denktir:

Benzer şekilde değerlerinden oluşan çarpım ise şu çarpıma denktir:

Dolayısı ile üstteki ifadede bu ifadeleri yerlerine yazabiliriz ve şu sonuca ulaşırız:

Bu ifadenin kullanımına bir örnek verelim:

Bu ifadede olarak fonksiyonunu yani f ve olarak yani alabiliriz. Dolayısı ile çarpım kuralını şu şekilde uygulayabiliriz:

Bu kuralı elde ederken olarak yazdık. Lakin bu kural başlangıç değerinden bağımsız olarak da geçerlidir. Yani veya gibi başlangıç değerleri için de aynen uygulanabilir.

Sabitle Çarpım Kuralı

Sabit kuralı bize çarpım içerisinde bir fonksiyon ile bir sabit çarpım durumunda ise sabiti özel bir formda dışarı alabileceğimiz söyler. Bunu görmek için bir fonksiyonu ve bir sabiti kullanarak durumu ele alalım:

Bu ifadeyi yerine değerleri yazarak açalım:

Şimdi, bu ifadede çarpma özelliklerini kullanarak 'nin değerlerini ve sabitlerini bir araya gruplayalım:

Yukarıda bulunan ifade 'den başlayıp değerine kadar giderken toplamda adet yazılır. Dolayısı ile yukarıda bulunan ifadede 'ların çarpımının yerine, ona denk yazabiliriz.

Sağda bulunan 'nin değerlerinden oluşan çarpım aslında şuna eşittir:

Dolayısı ile bu ifadeyi yukarıda yerine yazarsak şık bir sonuca ulaşmış oluruz:

Burada önemli bir uyarı yapmamız gerekiyor. Bu kural sadece değeri den başlıyor ise geçerlidir. Aksi takdirde sayısı adet olmaz ve yukarıdaki formülde bulunan gibi bir ifade doğal olarak hatalı olur. Şimdi bu kuralın kullanımına bir örnek verelim:

Yukarıdaki formülden bildiğimiz üzere sayısının kuvvetini alarak çıkarmamız mümkündür. Dolayısı ile aşağıdakini yazabiliriz:

Birim Fonksiyon Kuralı

Eğer bir çarpım 'den başlıyor ve içerisinde birim fonksiyon bulunuyorsa bu çarpım doğrudan faktöriyele eşit olur. Şimdi bunu daha iyi anlamak için durumu inceleyelim. Çarpımın içerisinde birim fonksiyon olması şu şekilde ifade edilir:

Şimdi bu çarpımı yerine değerleri yazarak açık bir formda yazalım:

Yukarıda gördüğünüz bu ifade pozitif ilk tam sayının çarpımına eşittir. Bu durumda bu ifadeyi doğrudan faktöriyel ile ifade edebiliriz:

Daha önce verilen kurala benzer bir şekilde bu kural da başlangıç değerinin olduğu durumda geçerlidir. Aski takdirde ifadenin ilk tam sayının çarpımı olmayacağı açıktır. Bu ifade için de bir örnek verelim:

Kuvvet Kuralı

Kuvvet kuralı bize eğer bir fonksiyonun kuvvetini, çarpım işlemine tabi tutuyorsak fonksiyonunun kuvvetini çarpımın dışına kuvvet olarak çıkarabileceğimizi söyler. Bunu görmek için bir fonksiyonu ve bir reel sayısını ele alalım:

Şimdi çarpımı açık bir biçimde yazalım:

Reel sayılar için bildiğimiz kuvvetin özelliğini kullanarak bu ifadeyi şu biçimde yazabiliriz:

İçte bulunan değerlerinin çarpımından oluşan ifadenin değerini daha önce gördüğümüz üzere şu şekilde olduğunu biliyoruz:

Bu ifadeyi yukarıda yerine koyduğumuz takdirde şuna ulaşırız:

Bu ifade içinde basit bir örnek verelim:

Bu kuralı da elde ederken olarak yazdık. Lakin bu kuralda çarpım kuralında olduğu gibi başlangıç değerinden bağımsız olarak geçerlidir.

Kuralların Bir Arada Kullanımı

Şu ana kadar öğrendiğimiz tüm kuralları bir arada kullanarak bazı ifadeleri daha sade bir forma getirmemiz mümkündür. Bir örnek ile inceleyelim:

İşlem yapmaya önce çarpım kuralını kullanarak başlayalım. Sağda bulunan fonksiyonunu ve fonksiyonunu çarpımda ayırabiliriz. Bu durumda şöyle bir sonuç elde ederiz:

Sağda bulunan içeren çarpmada sabit kuralını uygulayabiliriz. Bu durumda dışarıya olarak çıkar:

Şimdi içeren çarpımda kuvvet kuralını uygulayalım:

Şimdi son olarak birim fonksiyonlar için elde ettiğimiz kuralı içeren çarpıma uygulayarak ifadeyi son hâline getirelim:

Sonuç

Bu makalede formüllerin türetimi için kullanılan tekniklerin birer ispat değil, akıl yürütme olduğunu anlamak önemlidir. Burada elde ettiğimiz kurallardan çok daha fazlası mevcuttur. Bu kuralları kendi başınıza türetmeyi denemek konusunda sizi cesaretlendirmek isteriz. Bu içerikte verilmeyen ve bölüm durumunda bulunan fonksiyonlar için uygulanabilecek bir kuralı türetmeyi deneyerek işe başlayabilirsiniz. Matematik konusunda kendinizi geliştirmenin en iyi yolu ispatları ve akıl yürütmeleri kendi başınıza denemenizin olduğuna inanıyoruz. Umuyoruz ki bu içerik matematik yolculuğunuzda size yardımcı olmuştur.