Gama fonksiyonu faktöriyellerin tanımını reel sayılara ve hatta karmaşık sayılara genişletmek için kullanılan özel bir fonksiyondur. İlk önce faktöriyellerin temel tanımını hatırlayalım. Bir tam sayısı için faktöriyel 'den başlamak üzere 'e kadar olan tam sayıların çarpımıdır. Bu, aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bu tanımı kullanarak kolaylıkla sayısının faktöriyelini hesaplayabiliriz:

Bu tanımdan yola çıkarak herhangi bir negatif olmayan tam sayısı için faktöriyeli kolayca hesaplayabiliriz. Lakin bu tanıma sadık kalarak hareket ettiğimizde gibi ya da gibi sayıların faktöriyelini hesaplamanın mantıklı bir yolu yoktur. Bu noktada gama fonksiyonu olarak bilinen bir fonksiyonu kullanarak faktöriyel tanımımızı genişletiriz. Gama fonksiyonu, integraller kullanılarak şu biçimde tanımlanır:

Burada sembolü fonksiyona ismini de veren Yunan alfabesinden büyük gama harfidir. Eğer bu noktada konuyu anlamak ile ilgili güçlük çekiyorsanız, öncelikle matematik bilgi birikiminizi genişletmenizi öneririz. Bunun için akademik platformumuz olan Bilimetri Akademi'yi incelemenizi öneriyoruz.

Gama Fonksiyonunun Faktöriyeller ile İlişkisi

Eğer gama fonksiyonunun faktöriyellere ait bazı özellikleri gösterdiğini ispat edebilirsek bu durumda gama fonksiyonunu, faktöriyelleri yeniden tanımlamak için kullanabiliriz. Bu sayede hem ilk tanımımızla uyum içerisinde oluruz hem de faktöriyelleri bildiğimiz integrasyon teknikleri ile reel sayılara genişletebiliriz. İlk önce gama fonksiyonunun 'de aldığı değeri hesaplayarak başlayalım. Fonksiyonun içerisine koyduğumuzda şunu elde ederiz:

Sağdaki integrali limit formunda yeniden yazalım:

İntegrali alıp limiti hesap edersek şunu elde ederiz:

Buradan gama fonksiyonun için değerine sahip olduğunu görürüz. Dolayısıyla şunu yazabiliriz:

Şimdi gama fonksiyonunun bir diğer önemli özelliği olan özelliğini sağladığını gösterelim. Bunu gerçekletirmek için ifadesine kısmi integrasyon uygulayacağız. Gama fonksiyonunun integral tanımını kullanarak ifadesini açık olarak yazarak başlayalım:

Sağdaki integral ifadesini, ifadesinin integralini alarak ve ifadesinin türevini alarak kısmi integrasyon gerçekleştirmek için yazalım:

Ortadaki ifadeyi limit formunda yazıp hesaplayalım:

İfade sıfıra eşit olduğu için iptal edebiliriz. İfadeyi buna göre yeniden yazdığımızda şu sonuca ulaşırız:

İntegaraldeki ifadesi, fonksiyonun içerisine girdi olarak verdiğimiz sayısıdır. Dolayısı ile bu sayıyı bir sabittir ve sabit kuralını kullanarak dışarıya çıkarabiliriz:

Bu ifadeyi incelediğimizde integralin değerinin aslında ifadesine eşit olduğunu görürüz. Buradan hareketle integralin yerine yazabiliriz:

Bu ifade ispat etmek istediğimiz ifadedir.

Şimdi ispat ettiğimiz bu olguyu ve ilk başta gösterdiğimiz olgusunu kullanırsak şu sonuca ulaşırız:

Sonuç olarak artık gama fonksiyonunun faktöriyel ile ilişkili olduğunu görmüş olduk. Bu ilişki biçimindedir. Bu ifadeyi artık faktöriyelleri pozitif tam sayılardan reel sayılara genişletmek için kullanabiliriz. Bu hesaplamalar kolay olmayabilirler, lakin artık ilk durumda olduğu gibi imkânsız değildir. İlk başta yaptığımız tanım bize gibi bir irrasyonel sayı için faktöriyeller ile nasıl çalışacağımız hakkında hiçbir şey söylemez.

Gama Fonksiyonunun Grafiği

Gama fonksiyonu için farklı noktalarında değerlerini hesaplayıp bir grafik çizersek aşağıdaki grafiği elde ederiz:

Desmos

Bu grafikte fonksiyonun değerinde değerini, değerinde ve de ise değerini aldığı görülebilir. Bu grafiği kendiniz Desmos üzerinden daha detaylı bir şekilde incelemek isterseniz tıklayınız. Ayrıca grafikten hızlı bir şekilde fark edilen diğer bir özellikte fonksiyonun 'a sağdan ve soldan yakalaşırken sırası ile artı ve eksi sonsuza gittiğidir. Bunu görmek için ispat ettiğimiz bağıntısını kullanacağız. Eğer bu bağıntıda iki tarafıda ile bölersek şu ifadeyi elde ederiz:

ifadesinin iken limitini hesaplarsak:

Yukarıdaki sonucu buluruz. Sıfıra soldan yaklaşırken ise paydadaki ifadesi negatif olacağından 'a yaklaşacağı kolayca görülebilir. Gama fonksiyonunun aynı zamanda için de bir tekilliğe sahip olduğu grafikten okunabilir. Bunu görmek için üstteki ifadede yerine yazalım:

Az önce gösterdiğimiz üzere ifadesi yaklaştığımız yöne bağlı olarak yada 'a yaklaşır. Bu grafikten okuduğumuz durumu açıklamaktadır. Bu olgu kullanılarak tüm negatif tam sayılarda gama fonksiyonunun tekilliklere sahip olduğu gösterilebilir. Bu durum grafikten de görülebilir. Bu kısmın ispatı alıştırma olarak size bırakılmıştır. Ödevinizi yapınız! Matematik eğitiminde öğrendiğiniz kavramlar üzerine denemeler yapmanın en faydalı öğrenme yolu olduğuna inanıyoruz.

Sonuç

Bu içeriğimizde, matematiksel olarak faktöriyel işlemini gama fonksiyonunu ile önceden bildiklerimiz ile uyum içerisinde olarak genişletmenin nasıl gerçekleştğini gösterdik. Gama fonksiyonu matematikte yüksek boyutlu kürelerin veya hiperkürelerin hacimlerini hesaplamakta, integrallerin çözümünde ve istatstik gibi pek çok önemli yerde kullanılmaktadır. Umuyoruz ki bu içeriğimiz sizlere matematik eğitimi sürecinizde fayda sağlamış ve matematiğe olan ilginizin artmasına vesile olmuştur. Eğer bu içeriğimizi anlamakta güçlük çektiyseniz ve matematiğiniz yeterli gelmediyse lütfen endişelenmeyiniz. Matematiğin; uzun süreli çalışma, disiplin, emek, bolca hata tecrübesi ve alıştırma isteyen bir alan olduğunu hatırlatmak isteriz. Kendinizi geliştirme sürecinde tamamen ücretsiz olan Bilimetri Akademi'den faydalanabilirsiniz.