L'Hôpital Kuralı, matematikte ve belirsizliklerini çözmek için kullanılmaktadır. Adını, teoremi 1696'da "l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" kitabında yayımlayan kişi olan Guillaume de l'Hôpital'den almaktadır. Her ne kadar teorem için Guillaume de l'Hôpital atıf alsa ve genellikle kendi adı ile anılsa da, teoremin ilk olarak Leonard Euler'in hocası olan Johann Bernoulli tarafından ortaya atıldığı düşünülmektedir. Teorem, belirsizlik çözmekte en çok kullanılan yöntemlerdendir.

Bu içeriği daha rahat okuyabilmeniz ve anlayabilmeniz için bazı matematik konularında temel bilginizin olması gerekmektedir. Limit, türev ve integral (kalkülüsün temelleri) bilmeniz durumunda içerikten daha çok verim alabilirsiniz. Bu konularda kendinizi geliştirmek için Bilimetri Akademi eğitim serilerinden faydalanabilir ve giriş seviyesi Bilimetri matematik içeriklerini okuyabilirsiniz.

veya oluşan bir belirsizlik için tanım olarak kısaca şöyle gösterilebilir:

Burada eğer türevlerin alınmış hâlinde de bir belirsizlik varsa tekrardan türev alınabilir. Yani, belirsizlik gidene kadar yöntem tekrarlanabilir. Fakat öncesinde belirsizlik kavramının ne olduğunu anlamamız gerekiyor. Bunun için kısaca belirsizliğin ne olduğunu açıklamaya çalışalım:

Belirsizlikler ve Özellikleri

Belirsizlikler, matematiğin önemli bir kısmını oluşturur. Özellikle de limit, türev ve integral kısmında sıklıkla karşımıza çıkmaktadır. Belirsizlikler ile aslında farkında olmasak bile çok küçükken karşılaşırız. Bildiğiniz üzere bölmenin önemli "kurallarından" birisi, 0'a bölmenin tanımsız olmasıdır. Bu, bizim böyle bir tanımlamayı yapmayı tercih etmememizden kaynaklanmaktadır. Yani bunun bir şart olmadığını anlamak önemlidir. Fakat aksi belirtildikçe 0'a bölemeyiz çünkü bölebilseydik şu şekilde bir denklem kurabilirdik:

Denklemde iki tarafı da 0'a bölelim:

Böyle bir şey olabilir mi? Tabii ki hayır! Buradan da nedeni anlayabilirsiniz ya kısmı hatalı olmalı ya da 0'a bölme kısmı. Burada, sıklıkla mantıklı olan 'ı doğru kabul etmektir. Şimdi olayı biraz daha genelleyelim ve 0'a bölmekteki belirsizliği görelim. Şu şekilde bir denklem kuralım:

Şimdi iki tarafı da 0'a bölelim:

Buradan da ilk belirsizlik örneğimiz olan belirsizliğini elde ediyoruz. Denklemden de görebildiğiniz üzere eğer burada 0'a bölmekte sorun olmasaydı yerine herhangi bir sayı yazabilirdik. O zaman bu da 'ın her sayıya eşit olduğu anlamına gelirdi. Böylelikle belirsizliğin tanımına ulaşmış oluruz! Belirsizlikler için genel olarak doğrudan kesin sonuç alamadığımız denklemlerdir diyebiliriz. Yani birden fazla cevapları olabilir. Bazı belirsizliklere örnek olarak şunları gösterebiliriz:, , , , , , .

L'Hôpital Kuralı genel olarak çoğu belirsizliğe uygulanabilir. Genellikle, eldeki belirsizliği veya belirsizliğine çevirerek kurala başvurulur. Şimdi kurala daha detaylı bakalım.

Örnekler

Kural ile ilgili önemli bir bilgiyi vererek başlamak gerekir: L'Hôpital, sadece ortada bir limit varken uygulanabilir. Yani saf bir belirsizliğe uygulanamaz. Limite uygulanabilmesinin sebebi ise limitin özünde ideal sayılar gibi davranmasıdır. Örneğin, normal şartlarda 0'dan farklı bir sayıyı kendisine böldüğünüz zaman 1 sayısını elde edersiniz. Ama az önce anlattığımız nedenlerden ötürü sonucu belirsizdir. Fakat durum limite geldiği zaman:

Bu durumda limiti uyguladığımızda elde ederiz ama limit olduğu için bu sayılar aslında 0 değil, 0 a çok yakın sayılar gibi davranır. Yani bu denklem aslında belirsizliğini verse bile 1 eder. Bu arada belirtmekte fayda olan bir unsur ise, burada 1 gelmesinin her zaman 1 olacağı anlamına gelmediğidir. Az sonraki örneklerde farklı sonuçlar vereceğini göreceğiz. Bunu aslında olduğu için sadeleştirme yaparak doğrudan bulabiliriz. Bu denklem eğer,

şeklinde bir belirsizliği olsaydı, bu sefer de sayılar sonsuz gibi sayı olmayan bir kavramdan çıkıp, aşırı büyük sayılar gibi davranacaktı. 2 sayıyı böldüğünüzde 1 elde edeceğiniz için sonuç 1 olacaktı. Burada az önce bahsettiğimiz şey tekrardan geçerlidir. Her zaman 1 olmak zorunda değil (zaten sürekli aynı sonucu verseydi ortada bir belirsizlik olmazdı).

Kısaca, burada limitin önemini ve normal hesaptan farkını görebiliriz. Limitin bize sağladığı fayda da zaten dediğimiz gibi sayıları tam değerleri yerine tam değere olabildiğince yakın değerler almasıdır. Kafamızda limit ve belirsizlik kavramlarını oturttuğumuza göre şimdi L'Hôpital kullanacağımız örneklere geçebiliriz.

Bu limiti normalde çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:

Fakat L'Hôpital kullanarak çarpanlara ayırmadan da çözmemiz mümkündür. Kuvvet kuralını kullanarak payın ve paydanın türevini alalım:

Şimdi biraz daha zorlaştıralım:

Bunu çarpanlara ayırarak çözmek oldukça zorlayıcıdır ve muhtemelen zaman kaybettirici olacaktır. Tabii ki grafik ve yaklaşık değerler ile çözmek mümkündür. Ama L'Hôpital ile çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Öncelikle ifadede limiti uygulayalım:

Bunu veya belirsizliğine çevirelim ki L'Hôpital Kuralı'nı uygulayabilelim. Şimdiyerine yazalım:

Tekrar payın ve paydanın türevini alalım:

Gördüğünüz gibi mutlaka veya şeklinde belirsizlikler olmak zorunda değiller. Diğer belirsizliklere de () belirli şekillerde uygulanabilir. Bir de şu örneğe bakalım:

Şimdi ifadenin 'e eşit olduğunu söyleyip doğal logaritmasını alalım:

Az önceki gibi 'i paydaya alalım:

Az önce bu limiti hesaplamış ve 0 bulmuştuk. O zaman:

O zaman limitimizin değeri 1'dir. Gördüğünüz gibi birçok farklı şekilde farklı belirsizliklerde kullanmak mümkündür. Son bir örnek daha inceleyebiliriz. Bir düzgün 'genin alanını bulmak için kullanabileceğimiz genel formül bulunmaktadır. Bu formülde, kenar sayısını ve çevre uzunluğu temsil ederken çokgenin alanı şu şekilde hesaplanmaktadır:

Çemberi, sonsuz kenarlı bir çokgen gibi düşünebiliriz. O zaman mantıksal olarak sonsuza giderken formülümüzün şeklini alması lazımdır. Bunu şu şekilde test edebiliriz:

Kareli kısımdaki sadeleştirmeyi sağlayıp sabit terimleri de dışarı alırsak:

Paydada belirsizliği oluştu. Önce tanjantın türevini daha kolay hesaplamak için limiti değiştirelim:

Bu şu demektir:

Bunu da şu şekilde gösterebiliriz:

Şimdi L'Hôpital ile limiti hesaplayalım:

olduğuna göre limit değeri 1 olur. O zaman:

Bir dairede çevre olduğuna göre:

Peki bu yöntem neden çalışıyor?

Teoremin İspatı

belirsizliği oluşturan bir limiti ele alalım:

Buradan da ve olur. Bir toplamdan 0 çıkarmak ifadeyi değiştirmez. O hâlde limiti şu şekilde yazalım:

Şimdi ifadeyi ile genişletelim:

Türevin tanımından dolayı ifadenin payı ve paydası olur. Sonuç olarak:

Tabii bu sadece belirsizliğinde geçerlidir. için biraz daha farklı bir şey uygulamamız gerekmektedir:

Bu ifadede ve olsun. Yani bir belirsizliği olsun. Bu ifadeyi şu şekilde düzenleyelim:

Şu anda ifade belirsizliğine döndü. Şimdi, payın ve paydanın türevini alalım:

O hâlde:

Sadeleştirme uygulayalım:

İfadeyi ile çarpalım:

Gördüğünüz gibi teoremin ispatı da bu şeklidedir.

Özet

Matematikte, belirsizliklerin sıkılıkla karşımıza çıktığı bir gerçektir. Fakat, L'Hôpital Teoremi (veya L'Hôpital Kuralı) gibi yöntemler sayesinde bu belirsizlikleri netliğe kavuşturabilmek mümkün olmaktadır. Oldukça basit bir mantığa dayanan bu teorem, karmaşık problemlerin üstesinden gelmek konusunda oldukça başarılıdır. Bu sebeple hem öğrenciler hem de matematikçiler tarafından zaman zaman başvurulan bir yöntemdir.