Matematik ile uğraşırken tanım, ispat ve aksiyom kavramlarını duymamanız neredeyse imkânsızdır. Bütün matematik sistemi, en temelinde bu üç kavramın üzerine kuruludur. Her biri matematiksel bilginin oluşturulması, geliştirilmesi ve anlaşılmasında ayrı bir işlev görür. Dolayısıyla bu kavramları çok iyi bir şekilde anlamadan gerçekten matematik yapmak mümkün değildir. Ne yazık ki buna rağmen liselerimizde bu kavramlar yeterince iyi öğretilmemektedir. Bu kavramların daha iyi bir şekilde öğretilmesinin, öğrencilerin matematiğe olan bakış açılarını ve düşünme biçimlerini kökten değiştireceğine inanıyoruz. Umuyoruz ki bu içerik, özellikle de genç matematikçi adaylarına faydalı ve ufuk açıcı olur.

Tanım Kavramı

Matematikte tanım kavramı, adından da anlaşılabileceği üzere belirli olguları tanımlama amacı taşımaktadır. Matematikte tanımlar olmadan adım dahi atmak mümkün değildir. Matematikte tanımlar olmadan ortak bir anlaşmaya varılması imkânsızdır. Matematikte tanımlar, belirsizliği ortadan kaldırmak ve üzerinde konuşulan nesnenin veya özelliğin ne olduğunu netleştirmek için kullanılır. Bir matematiksel tanım aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır:

1. Açıklık ve netlik: Tanım, muğlaklığa yer bırakmayacak şekilde formüle edilmelidir. Yani bir başka matematikçi tarafından farklı yorumlanabilecek formatta olmamalıdır. Böyle olması durumunda amacına hizmet edemez.
2. Kısalık: Gereksiz sözcükler ve ifadeler tanımın anlaşılmasını engeller, bu nedenle olabildiğince öz olmalıdır. Bir şeyi olabilecek en kısa, en az diğer unsurlara bağımlı hâlde tanımlamak gerekmektedir. Bazı olguların birden fazla farklı matematiksel tanımı olabilir, bunun önünde bir engel yoktur. Ama çoğu durumda matematikçiler, en kısa ve en az dış etmene bağlı tanımı kullanmayı tercih eder.
3. Kapalı döngü: Tanım, kendi içinde kavramı açıklayacak, ancak tanımlanan terim kendi tanımında kullanılmamalıdır. Eğer tanımlanan terim, kendi tanımında kullanılırsa tanım amacına hizmet etmez.

Matematikte tanımların neden bu kadar önemli olduğunu anlamak için şu durumu inceleyebiliriz: "Matematikte 'a bölme işlemi tanımsızdır." ifadesini muhtemelen duymuşsunuzdur. Bu ifade tamamen yanlıştır. Matematikte 'a bölme işlemi tanımsız değildir. Matematik bize neyin tanımlı, neyin tanımsız olacağını söylemez. Bu, tamamen bizim tercihimize bağlıdır. Matematikte 'a bölme tanımlanabilir ve bu gerektiği durumlarda matematikçiler tarafından yapılır. O durumda, matematikçinin çalışmasına nasıl tanımlamak daha faydalı oluyorsa o şekilde tanımlanır. Genellikle 'a bölme işlemini tanımlamak işleri zorlaştırdığı veya karıştırdığı için tercih edilmez. Dolayısıyla biz de 'a bölmenin tanımsız olduğunu söyleriz. Ama bu kesinlikle, matematikte 'a bölmeyi tanımsız yapmaz.

Matematiksel tanımları daha iyi anlamak için asal sayıları iki farklı şekilde tanımlayalım ve inceleyelim:

1. "Gerçek" asal sayı tanımı: Pozitif bölenlerinin kümesi 2 elemanlı olan tam sayılar.
2. "Yalancı" asal sayı tanımı: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan sayılar.

Burada asal sayıları iki farklı şekilde tanımladık. İki farklı tanım yapmakta özgürüz. Bir matematik kitabında, yazısında veya makalesinde hangi tanımı yaparsak okuyucu da ona göre düşünmelidir. Tabii ki asal sayı evrensel olarak kabul gören bir tanıma sahiptir. Dolayısıyla asal sayıların tanımını değiştirip kendimize uyacak şekilde almak pek mantıklı değildir. Bu sebeple yukarıdaki tanımlardan birisine "gerçek" diğerine ise "yalancı" tanım dedik. Gerçek tanım, evrensel olarak kabul gören asal sayı tanımıdır. Yalancı tanım ise özellikle ülkemizde lise öğrencilerine okullarda öğretilen, aslında hatalı olan bir asal sayı tanımıdır.

Şimdi iki tanım arasındaki farkları inceleyelim. İlk, yani gerçek tanıma göre "en küçük asal sayı" diye bir şey yoktur. Buna liselerde denmektedir. Ancak , 'den daha küçük bir asal sayıdır. Buna şaşırdıysanız hemen tanıma başvuralım! Pozitif bölenlerinin kümesi elemanlı olan bazı tam sayıları ele alalım (, pozitif bölen demektir):

Yukarıda sayıların sadece pozitif bölenleri gösterilmiştir. Negatif sayıların bir de negatif bölenleri vardır. Ancak tanım bunu önemsememektedir. İkinci, yani yalancı tanımın neden gerçek bir asal sayı tanımı olmadığını ise böylelikle anlayabilirsiniz. İkinci tanımı hatırlayalım: ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan sayılar.

Bu durumda sayısı bir asal sayı olamaz çünkü ve kendisinden başka pozitif böleni vardır, o da sayısıdır. Sayının kendisi 'dir, değildir. Dolayısıyla bu tanım bize, akademide kabul edilen asal sayıları vermez. Bu tanım bize, "indirgenemez sayılar" diye ayrı bir sayı grubunu verir. Kendinizi kandırılmış hissediyorsanız haklısınız, bunca yıl asal sayıların gerçek tanımını yanlış biliyordunuz.

Aksiyom Kavramı

Aksiyom, üzerinde tartışmasız kabul edilen temel önermedir. Aksiyomlar, matematiğin kuruluş taşıdır, tüm teoriler bu temel kabuller üzerine inşa edilir. Bu sebeple aksiyomlara "temel kabul" veya "ön kabul" de denir. Matematik gibi tutarlı bir yapının ön kabuller üzerine kurulu olması sizi rahatsız etmiş olabilir. Merak etmeyiniz, bu durum tarihte pek çok önemli matematikçiyi de rahatsız etti. Hatta bunun sonucunda elimizdeki matematik sisteminin gerçekten tutarlı olup olmadığını asla bilemeyeceğimiz de ispatlandı. Ancak bu içerikte bunun detaylarına girmeyeceğiz, araştırmasını sizlere bırakıyoruz. Böylelikle daha iyi öğrenebilirsiniz. Aksiyomların temel bazı özelliklerini inceleyelim:

1. Kabul görme: Matematikçiler arasında konsensüs ile (ortak akılla) ve tarihsel süreçle kabul edilmiş ifadelerdir. Bir ön kabul olmasına rağmen matematikçilerin çoğunluğu tarafından kabul edilmesi beklenir. Eğer ön kabul yapılmadan tanımlanabilmesi mümkünse bu yol denenir. Eğer mümkün değilse aksiyom kabul edilir. Tarihte aksiyom olarak kabul edilip daha sonra ön kabul ile olmadan tanımlanan bazı örnekler bulunmaktadır. Ancak bu durumda bile ilgili tanım eninde sonunda bir ön kabule bağlanacaktır. Kısacası, matematikte her şeyin temelinde ön kabuller mutlaka vardır.
2. Kanıt gerektirmemek: Aksiyomlar, kendi başlarına ispatlanmaz. Aksi hâlde sonsuz geriye gitme problemi ortaya çıkar.
3. Tutarlılık ve tamlık: Bir aksiyom sistemi tutarlı olmalı (çelişkili sonuçlara yol açmamalı) ve mümkün olduğunca tamamlayıcı olmalıdır.

Geometride "doğru" kavramı bir aksiyomdur. Doğru kavramının bir tanımı yoktur. Tarihte çeşitli tanımlama girişimlerinde bulunulmuştur ancak matematikçiler doğru kavramını genellikle tanımsız kabul eder. Yani aksiyom, ön kabul, olarak ele alırlar. "Aynı hat üzerinde hizalı sonsuz noktalar kümesi." şeklinde tanımlamaya çalışmak nafiledir. Öncelikle "aynı hat" ve "nokta" kavramlarını tanımlamanız gerekmektedir. Dahası, "nokta" kavramı da tanımsızdır. Nasıl tanımlayabilirsiniz ki? Tanımlamanız için mutlaka başka bir şeyi referans göstermeniz gerekmektedir. Ama bu sefer de o şeyi tanımlamanız gerekecektir. Yani bu işin bir sonu yoktur. Dolayısıyla matematikte mutlaka bir şeyleri aksiyom olarak kabul etmeniz gerekmektedir.

İspat Kavramı

İspat, bir önermenin aksiyomlar ve daha önce ispatlanmış teoremlerden mantıksal çıkarım yoluyla kesin olarak gösterilmesidir. İspat, matematiğin en temel etkinliğidir, bilgi ancak ispatlandığında "matematiksel gerçek" statüsü kazanır. İspat kavramı oldukça detaylıdır ve bu yazı içerisinde ele aldığımızdan ibaret değildir. Bilimetri ve Bilimetri Akademi üzerinden matematiksel ispat hakkında daha çok şey öğrenebilir ve çeşitli teoremlerin ispatlarını öğrenebilirsiniz.

Matematiksel ispatta mantık kavramlarına ve matematiksel ifadelere sıklıkla başvurulur ancak bazen insan dilinden (yani sözcüklerden) de yardım alınması gerekir. Matematikte "sözsüz ispatlar" diye bir kavram olmasının yanı sıra çoğu durumda sözcüklere ihtiyaç vardır. Bu da mutlaka belirsizlikler yaratacaktır. Dolayısıyla matematikçilerin ortak bir dili konuşması ve birbirinin ne dediğini biraz da sezgisel olarak anlaması gerekmektedir. Matematikte kabul gören ve sıklıkla kullanılan bazı ispat yöntemleri vardır. Bunlardan bazılarının adları şunlardır: Doğrudan ispatlama, tümevarımla ispatlama, olmayana ergi yolu, oluşturarak ispatlama...

Matematiksel ispatı daha iyi anlamanız için burada anlaması kolay ve keyifli bir ispata yer vermek istiyoruz. Asal sayıların sonsuz olduğunu, olmayana ergi yolunu kullanarak ispatlayalım:

Varsayalım ki asal sayılar sonlu olsun (olmayana ergi) ve "en büyük asal sayı" diye bir şey var olsun. Bu sayıya da diyelim. Şöyle bir durum ele alalım:

Bütün asal sayıları çarpalım ve ekleyelim, bu sayıya da diyelim. Bu sayı, sayısından büyük olacaktır. Eğer bu sayısı asal sayıysa çelişki gelecektir ve durumu sağlanacaktır. Bu da sayısından büyük bir asal sayı olduğu anlamına gelir. Eğer asal sayı değilse, aritmetiğin temel teoremini kullanarak bu sayıyı kendisinden küçük bütün asal sayılara tek tek bölelim. Hiçbirine tam bölünmediği için bu sayı, listemizdeki asal sayıların çarpımı şeklinde gösterilemez. Dolayısıyla da listede olmayan 'den büyük bir asal sayıya bölünmek zorundadır. Çelişki. İspat biter.

Bu ispatı ilk yapan matematikçi Öklid'tir. Kendisi aynı zamanda olmayana ergi yolu ile ispatlamayı (Lat: "reductio ad absurdum") kullanan ilk kişilerdendir.

Sonuç

Bu içerikte matematikteki en temel üç kavrama yer verdik ve kısaca bu kavramların neler olduğunu, ne işe yaradığını ve örneklerini inceledik. Bu kavramları bilmeden matematik yapmak ve matematiği gerçekten anlamak imkânsızdır. Dolayısıyla bu kavramları öğrenerek matematik yolculuğunuzda kendinize çok büyük bir katkı yapmış oldunuz. Umuyoruz ki bu içerik, matematiğe olan ilginizi artırır ve yaklaşım biçiminizi olumlu yönde etkiler. Matematiği gerçekten tanımları ve ispatlarıyla anlamak için Bilimetri içeriklerini okuyabilir ve kendinizi akademik olarak geliştirmek isterseniz de Bilimetri Akademi platformumuzdan faydalanabilirsiniz.