Matematikte genellikle belli bir "kuralı" (Matematikte kurallardan bahsedilemeyeceği unutulmamalıdır. Bu içerikte genel sezgiye güvenerek "kural" ifadesini kullanacağız.) takip eden toplamlar ve çarpımlar karşımıza çıkar. Toplam işlemi şunun gibi gözükür:

Bu örnekte gördüğünüz 'den 'a kadar olan tam sayıların toplamıdır. Matematikte buna benzer işlemler oldukça fazla karşımıza çıkmaktadır. Bu işlemlere bir kaç örnek daha verelim. olmak üzere çift sayıların toplamı:

Ya da tamkare sayıların toplamı:

Bu notasyonlar (gösterimler), ne tür bir şey ifade ettiklerini anlatıyorlar ama çok temel bir eksileri var: Bu notasyonlar ile işlem yapmak kolay değil ve kâğıt üzerinde biraz fazla yer kaplayabiliyorlar. Özellikle ciddi işlem gerektiren hesaplamalarda bu durum oldukça kafa karıştırıcı bir hâl alabilir. Bu noktada göze biraz ürkütücü gözüken ama oldukça basit olan sigma () notasyonu devreye giriyor. Bu notasyona sıklıkla "toplam sembolü" de denmektedir. Sigma, mühendislikte ve matematikte oldukça sık bir şekilde kullanılan ve işleri oldukça basitleştiren bir notasyondur. Sigma notasyonunun nasıl kullanıldığını anlamak için en üstte verilen 'den 'a kadar olan doğal sayı toplamını bir de sigma notasyonu ile yazalım:

Her şey çok daha derli toplu gözüküyor, değil mi? Yukarıdaki notasyonu yavaş yavaş açıklayacak olursak: Ortadaki sembolü, Yunancada büyük sigma harfidir. olarak gösterilen kısım başlangıç değerimiz ve üstteki ise nerede durmamız gerektiğidir. Sağda bulunan ise toplamı uygulamamız gereken formüldür. Daha net ifade edecek olursak bu sembol, bize yerine önce yaz ve daha sonra sonra yaz der. Üstteki ile de, 'a vardığın zaman işlemi son kez uygula ve bitir der. Daha sonra tüm hesaplamalarımızı toplarız. Daha çok netlik kazandırmak için başka bir örnek yazalım:

Bu basit örneğin değerini hesaplamak için önce sağda verilen formül yerine yazarız yani ve daha sonra yazarız, yani . Son olarak ise yani yazarız. Sonra tüm sonuçları toplarız. Yani kısacası:

Toplamın değerini bu şekilde bulabiliriz. Konunun daha çok pekişmesi için şu örneği de inceleyelim:

Bu seferki örnekte üsttekilerden farklı olarak sembol seçimlerinin ve başlangıç değerlerinin farklı olduğuna dikkat ediniz. Üstteki örneklerde kullanılan yerine kullanılmış ve bu sefer başlangıç değeri olarak alınmış. Buradan gördüğümüz yere formülde önce , sonra , sonra , ve son olarak yazarak toplamamız gerektiğini çıkarmalıyız. Yani kısacası,

olarak hesaplanmalıdır. Bu kısımda şu noktaya da dikkat çekmek gerekir: Başlangıç değeri olarak seçilen sayı pozitif bir sayı olmak zorunda değildir. Örneğin, ile de başlanabilir. İncelemek için şuna bakalım:

Bu seferki toplamda önce ile başlayıp bir arttırarak de dahil olmak üzere 'ye kadar hesaplayıp toplamamız gerekmektedir. Toplamı yazacak olursak,

şeklinde açılabilir. Bu notasyon görüldüğü gibi son derece basittir.

Sabitle Çarpım Kuralı

Sabit kuralı, toplamda tüm formül bir sabit sayı ile çarpılıyorsa onu toplamın dışına çıkarabileceğimizi söyler. Bunu göstermek için şunu yazalım: rastgele bir fonksiyon olsun ve rastgele bir reel sabit (reel sayılar kümesinde tanımlı) olsun. Bir başlangıç noktası olarak alalım ve bitişi olsun. Bunu şöyle yazabiliriz:

Bunu öğrendiğimiz şekilde açık olarak yazalım:

yerine 1'den başlayarak sırasıyla sayıları yazdık ve son olarak yazarak toplamı açtık. Bu, baştaki gösterimin açılmış hâlidir, esasında aynı şeyi göstermektedir. Sağdaki ifadenin tamamında sabiti olduğunda, ifadeyi parantezine alabiliriz:

Parantez içerisindeki ifadenin aslında aşağıdaki toplama eşit bir ifade olduğuna dikkat edin.

O zaman parantez içerisine direkt sigma toplamını yerleştirerek basitçe şuna ulaşabiliriz:

Buradan elde ettiğimize göre çarpımdaki sabitleri kolayca dışarıya çıkarabiliriz. Bunu şu örnek ile inceleyerek pekiştirelim:

Bu örneklerde başlangıç değeri olarak aldık, lakin başlangıç değeri herhangi bir değer olduğunda da uygulanabilirdir (( , ) vb.).

Toplam ve Fark Kuralı

Toplam kuralı bize iki fonksiyonun toplamının, toplam işlemine tabi tutulmasının sonucunun; ayrı ayrı ele alınıp sonuçlarının toplanmasına eşit olduğunu söyler. Bunu anlamak için şu örneği inceleyebiliriz:

Toplamı açık bir şekilde yazalım:

Toplamdaki ve fonksiyonlarının toplamlarını aşağıdaki gibi gruplayalım:

için den 'ye kadar olan toplamların ve için den 'ye kadar olan toplamların aşağıdaki ifadelere eşit olduğuna dikkat edin:

Bu durumda yukarıda elde edilen ifadelerdeki ve nin toplamlarının yerine yukarıdaki toplamları aşağıdaki formülü elde etmek için yazabiliriz:

Formülün kullanımını daha iyi anlamak için basit bir örnek yapalım:

Toplam işlemini önce doğrudan hesaplayalım:

Şimdi bir de elde ettiğimiz toplam formülünü kullanarak hesaplayalım:

Önce terimini içeren toplamı bulalım:

Şimdi de terimini içeren toplamı bulalım:

Şimdi iki toplamın değerlerini yerine koyarsak,

ilk başta doğrudan yaptığımız toplam ile aynı sonucu elde ederiz. Çok benzer bir şekilde aşağıda verilen fark kuralını elde edebiliriz. Süreç çok benzer olacağından burada tekrar yapılmayacaktır.

Sabit Değer Kuralı

Eğer toplam içerisinde bir sabit değer bulunuyorsa, toplamı hesaplamak için kullanılabilinecek basit bir kural mevcuttur. Varsayalım ki herhangi bir sabit değer olsun ve aşağıdaki toplam verilsin:

Toplamı açıkça yazalım:

Toplamda bir sabit değer olduğundan, toplamın açılımı sadece 'lerin toplamı olacaktır. durumunda bir tane , durumuna iki tane ve durumunda tane nin toplamı yazılmış olacak. Dolayısıyla toplamın açılımı tane 'nin toplamı, yani değerine eşit olmalıdır.

Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta bulunmaktadır: Eğer toplam 'den başlamıyorsa, bu formül doğru olmayacaktır çünkü toplam 'den başlamadığı durumda toplanan lerin sayısı adet olmaz. Bu formülü uygulamadan önce ne ile uğraştığınızdan emin olmalısınız. Bu yukarıda bahsedilen toplam; fark ve sabitle çarpım kuralları için geçerli değildir, başlangıç değerinden bağımsız formüller geçerlidir. Kuralın kullanımını pekiştirmek için aşağıdaki örneği inceleyelim:

Sabit terim olarak ve alındığında formülün açılımı adet in toplamı olacaktır. Eğer doğrudan formülü uygularsak,

daha önceki ile tam olarak aynı sonuca ulaşırız.

Kuralların Bir Arada Kullanıldığı Bir Örnek

Kuralların kullanımını daha çok pekiştirmek için hepsini bir arada kullanabileceğimiz bir örneği inceleylim:

Formüle önce toplam kuralını uygulayarak fonksiyonların ayrı ayrı toplam işlemleri olarak ifade edelim:

Şimdi içeren toplama, çarpım kuralını ve sabit teriminden oluşan toplama sabit değer kuralını uygulayalım:

Bu şekilde formülü denk olarak yazabiliriz.

Önemli Uyarılar ve Sonuç

Bu makalede formüllerin türetimi için kullanılan tekniklerin birer ispat değil, akıl yürütme olduğunu anlamak önemlidir. Bu formüllerin matematiksel olarak geçerliliğinin ispatlanması için matematiksel tümevarım (indüksiyon) kullanılması gerekmektedir. Lakin bu temel düzeydeki makale için matematiksel tümevarım ile ispat; konunun anlaşılmasını oldukça zorlaştıracağından, bu makalede bu yolu takip etmedik. Onun yerine basit akıl yürütmeler aracılığıyla bir anlatım izledik. Bir diğer önemli uyarı ise toplam formülü için verilebilecek, burada verilmiş olandan çok daha fazla "kural" bulunmaktadır. Biz burada sadece en temel ve en önemli olanlara değindik.

Ayrıca bu makalede sıklıkla kullandığımız "kural" ifadesinin, Türkçede anlaşılan ilk anlamıyla alakası bulunmadığını netleştirmek isteriz. Matematikte hiçbir zaman kurallardan bahsedilemez. En kural gibi gözüken şeyler bile aslında ya teoremlerin sonucudur ya da aksiyomların temeline dayanan olgulardır. Matematikte "kural" ile "bağıntı" sıklıkla karıştırılmakta ve birbirinin yerine kullanılmaktadır. Bağıntı, tamamıyla matematiksel bir olgu iken; kural, matematiksel olarak bir anlam ifade etmemektedir. Bu makalede "kural" ifadesini kullanırken okurların genel sezgisine güvendik ve herhangi bir anlatım hatası oluşturacağına inanmıyoruz.

Bu içerikte, Türkiye matematik müfredatına dahil edilmeyen fakat matematikte oldukça temel ve önemli olan sigma (toplam) notasyonunu inceledik. Toplam sembolünün bize ne anlattığını ve yaygın birkaç özelliğini akıl yürütme ile nasıl basitçe elde edilebileceğini gördük. Sigma toplamı ve şu anda müfredatta tam olarak yer almayan "modüler aritmetik" gibi konuların lise müfredatında anlatılması gerektiği düşüncesindeyiz. Bu konular anlaşılmadan matematiğin ileri konularının doğru ve etkili bir şekilde anlaşılabilmesi mümkün değildir. Umuyoruz ki bu içerik, matematiği gerçekten öğrenmek isteyen öğrencilere ve kişilere de faydalı olmuştur.